Родился в Москве. В кино впервые снялся в 1936 году — его выбрали на роль Пети Бачея в фильме "Белеет парус одинокий". А потом началась Великая Отечественная война. С фронта Борис Рунге вернулся младшим лейтенантом. В 1947 году поступил в Московское городское театральное училище, позже преобразованное в Государственный институт театрального искусства имени А. В. Луначарского. Окончив ГИТИС, стал актёром Театра сатиры, где и проработал до конца своих дней. Народный артист РСФСР. Заслуженный деятель польской культуры (1976). Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы.